和人一样，自然的规律也喜欢“成双成对”。在格点规范场论中，Nielson-Nanomiya定理（或称Fermiondoublingtheorem,费米子重叠定理）就是保证不同手性的费米子总是成双成对出现的一个重要概念，具体一点来说，就是在一个局域的，厄米的，以及平移不变的格点规范场论中，不同手性的费米子总是成对出现的。

过去的十多年，Nielson-Nanomiya定理在拓扑能带理论的发展过程中发挥了非常重要的作用，它保证布里渊区中拓扑荷总是成对出现的。比如对于一般的拓扑半金属，能带简并点总是成对出现；与此对应，每个能带简并点都可以定义一个拓扑荷，例如在外尔拓扑半金属中，拓扑荷可以定义成围绕外尔点的陈数（Chernnumber）。如图1所示，Nielson-Nanomiya定理保证了这些拓扑荷在整个布里渊区中求和一定等于零。

图1:Nielson-Nanomiya定理中拓扑荷在布理渊区的分布示意图以及求和，红色和蓝色代表拓扑荷相反。

有趣的是，对拓扑材料来说，Nielson-Nanomiya定理可以在材料的表面被破坏，这个破坏恰好反应了材料的拓扑结构。比如在时间反演不变的拓扑绝缘体的一个表面上，狄拉克点可以单独出现，出现这样的表面态和体态的能带拓扑是一一对应的，这就是拓扑能带理论中著名的体边对应。

Nielson-Nanomiya定理在非厄米拓扑系统中还成立吗？近年来，得益于人造材料和光子晶体的实验发展，非厄米系统受到了越来越多的

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